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#205. [NOI2022] 冒泡排序

统计

题目背景

最近,小 Z 对冒泡排序产生了浓厚的兴趣。

下面是冒泡排序的伪代码:

输入: 一个长度为 n 的序列 a[1...n]
输出: a 从小到大排序后的结果
for i = 1 to n do:
    for j = 1 to n - 1 do
        if (a[j] > a[j + 1])
            交换 a[j] 与 a[j + 1] 的值

冒泡排序的交换次数被定义为在排序时进行交换的次数,也就是上面冒泡排序伪代码第六行的执行次数。他希望找到一个交换次数尽量少的序列。

题目描述

小 Z 所研究的序列均由非负整数构成。它的长度为 $n$,且必须满足 $m$ 个附加条件。其中第 $i$ 个条件为:下标在 $[L_i, R_i]$ 中的数,即 $a_{L_i}, a_{L_{i+1}},\dots,a_{R_i}$ 这些数,其最小值恰好为 $\boldsymbol{V_i}$

他知道冒泡排序时常会超时。所以,他想要知道,在所有满足附加条件的序列中,进行冒泡排序的交换次数的最少值是多少。

输入格式

本题有多组数据。

输入的第一行包含一个正整数 $T$。

对于每组数据,第一行包含两个正整数 $n,m$。数据保证 $1 \leq n,m \leq 10^6$。

接下来 $m$ 行,每行三个非负整数 $L_i, R_i, V_i$,表示一组附加条件。数据保证 $1 \leq L_i \leq R_i \leq n$、$0 \leq V_i \leq 10^9$。

输出格式

输出共 $T$ 行,每行一个整数。

对于每组数据,如果存在满足这 $m$ 个附加条件的序列,则输出在所有满足附加条件的序列中,冒泡排序交换次数的最小值。如果不存在满足所有条件的序列,则输出 $-1$。

样例 #1

样例输入 #1

1
3 2
1 1 2022
2 3 39

样例输出 #1

1

提示

【样例解释 #1】

这组数据的约束条件为 $a_1 = 2022, \min\{a_2, a_3\} = 39$。

若 $a_2 = 39$,且 $39 \leq a_3 < 2022$,则冒泡排序只有第一轮有交换操作,这一轮交换了 $a_1, a_2$ 和 $a_2, a_3$,总交换次数为 $2$。

若 $a_2 = 39$,且 $a_3 \geq 2022$,则冒泡排序只有第一轮有交换操作,这一轮仅仅交换 $a_1, a_2$,总交换次数为 $1$。

若 $a_3 = 39$,且 $39 < a_2 < 2022$,则冒泡排序算法第一轮交换 $a_1, a_2$ 和 $a_2, a_3$,第二轮交换 $a_1, a_2$。总交换次数为 $3$。

若 $a_3 = 39$,且 $a_2 \geq 2022$,则冒泡排序算法第一轮交换 $a_2, a_3$,第二轮交换 $a_1, a_2$。总交换次数为 $2$。

因此,交换次数的最小值为 $1$。


【样例 #2】

见附件中的 bubble/bubble2.inbubble/bubble2.ans


【样例 #3】

见附件中的 bubble/bubble3.inbubble/bubble3.ans

这个样例满足测试点 $8 \sim 10$ 的条件。


【样例 #4】

见附件中的 bubble/bubble4.inbubble/bubble4.ans

这个样例满足测试点 $13 \sim 14$ 的条件。


【样例 #5】

见附件中的 bubble/bubble5.inbubble/bubble5.ans

这个样例满足测试点 $15 \sim 16$ 的条件。


【样例 #6】

见附件中的 bubble/bubble6.inbubble/bubble6.ans

这个样例满足测试点 $23 \sim 25$ 的条件。

附件下载地址


【数据范围】

本题共 $25$ 个测试点。全部测试点满足:$1 \leq T \leq 1000$,$1 \leq \sum n, \sum m \leq 10^6$,$1 \leq L_i \leq R_i \leq n$,$0 \leq V_i \leq 10^9$。

其中 $\sum n, \sum m$ 分别表示所有测试点的 $n$ 的总和和 $m$ 的总和。$\sum n^2, \sum m^2, \sum n^3, \sum m^3$ 的含义类似。

测试点 数据范围 特殊性质
$1 \sim 4$ $n,m \leq 7$,且最多 $2$ 组数据不满足 $n, m \leq 5$  
$5 \sim 7$ $n,m \leq 17$,且最多 $3$ 组数据不满足 $n, m \leq 9$ A
$8 \sim 10$ $n,m \leq 100$,$\sum n^3,\sum m^3 \leq 4 \times 10^7$ A
$11 \sim 12$ $n,m \leq 2000$,$\sum n^2,\sum m^2 \leq 4 \times 10^7$ A
$13 \sim 14$ $n,m \leq 2000$,$\sum n^2,\sum m^2 \leq 4 \times 10^7$ B
$15 \sim 16$ $n,m \leq 2000$,$\sum n^2,\sum m^2 \leq 4 \times 10^7$ C
$17 \sim 18$ $n,m \leq 2000$,$\sum n^2,\sum m^2 \leq 4 \times 10^7$  
$19$ $\sum n,\sum m \leq 10^6$ A
$20$ $\sum n,\sum m \leq 10^6$ B
$21 \sim 22$ $\sum n,\sum m \leq 10^6$ C
$23 \sim 25$ $\sum n,\sum m \leq 10^6$  

特殊性质 A:对于 $1 \leq i \leq m$,$0 \leq V_i \leq 1$。
特殊性质 B:对于 $1 \leq i \leq m$,$L_i = R_i$。
特殊性质 C:输入给出的 $m$ 个区间 $[L_i, R_i]$ 两两不相交。


【提示】

本题的部分测试点输入量较大。我们建议你使用较为快速的读入方式。